文章目录
  1. 1. 计算阶乘的另一些有趣的算法
    1. 1.1. 更少的乘法运算次数?
    2. 1.2. 更少的总运算次数?
    3. 1.3. 还能再快一点么?
    4. 1.4. 另一种诡异的阶乘算法:

引言:计算阶乘是O(n)的,本文介绍几种比较有趣的阶乘算法。


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n!=n![(n2)!(n2)!][(n2)!]2=C(n,n2)[(n2)!]2n! = \frac{n!}{[(\frac{n}{2})!*(\frac{n}{2})!]}*[(\frac{n}{2})!]^2 = C(n,\frac{n}{2})*[(\frac{n}{2})!]^2

  • 法2 ~ n:转自http://www.matrix67.com/blog/archives/393

计算阶乘的另一些有趣的算法

  • 一个正整数nn的阶乘就是前nn个正整数的乘积,我们通常需要n1n-1次乘法操作来算出精确的值。不像等差数列求和、aann次幂之类的东西,目前求阶乘还没有什么巨牛无比的高效算法,我们所能做的仅仅是做一些小的优化。

更少的乘法运算次数?

  • 在高精度运算中,乘法计算的速度远远慢于加减法,因此我们有必要减少乘法运算的次数。下面我将做一个非常简单的变换,使得计算阶乘只需要n/2n/2次乘法。继续看下去之前,你能自己想到这个算法来吗?

  • 我们可以把一个数的阶乘转换为若干个平方差的积。例如,假如我想求9!9!,我可以把前99个正整数的乘积写成这个样子:

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   1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9
= (5-4) * (5-3) * (5-2) * (5-1) * 5 * (5+1) * (5+2) * (5+3) * (5+4)
= (5-1) * (5+1) * (5-2) * (5+2) * (5-3) * (5+3) * (5-4) * (5+4) * 5
= (5^2 – 1^2) * (5^2 – 2^2) * (5^2 – 3^2) * (5^2 – 4^2) * 5
  • 注意到一个有趣的事实:上面的四个平方差算出来分别是24,21,16,924, 21, 16, 9,它们之间的差正好是连续的奇数(因为n2n^2等于前nn个正奇数的和)。因此,我们可以用初始数(n/2)2(n/2)^2不断减去一个个的正奇数,求出所有n/2n/2个平方差,再用n/2n/2次乘法把它们乘起来。这种算法实现起来非常简单,并且(当nn不大时)同样只需要单精度乘高精度,但需要的乘法次数大大减少了。

更少的总运算次数?

  • 尽量提取阶乘中的因子22,我们可以得到另一种阶乘运算的优化方法。这很可能是不需要分解质因数的阶乘算法中最快的一种。
    假如我们需要计算20!20!,我们可以把2020拆成若干组正奇数的乘积:
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  1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 2 * 4 * 6 * 8 * 10 * 12 * 14 * 16 * 18 * 20
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 2^10
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 2 * 4 * 6 * 8 * 10 * 2^10
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 2^15
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 1 * 3 * 5 * 2 * 4 * 2^15
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 1 * 3 * 5 * 1 * 2 * 2^17
= 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 1 * 3 * 5 * 1 * 2^18
  • 只需要一次累乘就可以求到每一组奇数的乘积,最后再花费log2nlog_2^n次乘法把它们全部乘起来。最后的那个2182^{18}也可以二分计算出来。真正的代码还有很多细节上的优化,另外还借用了递归使得操作变得更加简便。你可以在本文最后附的那个链接里去找Split-Recursive算法。

还能再快一点么?

  • 继续扩展上面的算法,我们可以想到,如果把每个数的质因数都分解出来,并且统计每种质因子有多少个,我们就可以多次使用二分求幂,再把它们的结果乘起来。注意这里并不是真的要老老实实地去分解每个数的质因子。对于每个质数xx,我们可以很快算出前nn个正整数一共包含有多少个质因子xx(记得如何求n!n!末尾有多少个00么)。这种算法的效率相当高,已经能够满足大多数人的需要了。

另一种诡异的阶乘算法:

  • 这个算法可能是所有有名字的阶乘算法中最慢的一个了(Additive Moessner算法),它对一个数列进行重复的累加操作,一次次地计算前缀和,总共将花费O(n3)O(n^3)次加法操作。但是,令人费解的是,这个简单的程序为什么可以输出前nn个正整数的阶乘呢?
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a[0]:=1;
for i:=1 to n do
begin
a[i]:=0;
for j:=n downto 1 do
begin
for k:=1 to j do
a[k]:=a[k]+a[k-1]
write(a[i],' ');
end;
end;
  • 我在网上搜索相关的东西时找到了另一个有趣的东西。对一个初始时全为11的数列反复进行这两个操作:累加求前缀和,然后以1,2,3,...1,2,3,...的间隔划掉其中一部分数(即划去所有位置编号为三角形数的数)形成新的序列。类似的数列操作方法最先由Alfred Moessner提出的,我们这里不妨把它叫做Moessner数列。你会发现,第nn轮操作开始前,数列的第一个数恰好是n!n! 。看看下面的例子吧:

111111111111111...123456789101112131415...24578911121314...24578911121314...261118263546587185...61826465871...61826465871...6245096154225...2496154...2496154...24120274...120...120........\begin{matrix} 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&...\\ 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&...\\ *&2&*&4&5&*&7&8&9&*&11&12&13&14&*&...\\ 2&4&5&7&8&9&11&12&13&14&...\\ 2&6&11&18&26&35&46&58&71&85&...\\ *&6&*&18&26&*&46&58&71&*&...\\ 6&18&26&46&58&71&...\\ 6&24&50&96&154&225&...\\ *&24&*&96&154&*&...\\ 24&96&154&...\\ 24&120&274&...\\ *&120&*&...\\ 120&...\\ ..... \end{matrix}

  • 当然,发现前面O(n3)O(n^3)的程序和这个Moessner数列的关联时我很是吃了一惊:在前面的程序里,如果你输出每一次i循环末所得到的数列,你会发现输出的这些数正好就是后面这个问题里被我们划掉的数,而它们其实就是第一类Stirling数!

  • 这到底是为什么呢?是什么东西把阶乘、第一类Stirling数、Moessner数列和那个O(n3)O(n^3)的程序联系在一起的呢?昨天,我想这个问题想了一天,最后终于想通了。如果把Moessner数列排列成这个样子,一切就恍然大悟了:

  • 仔细观察上图,我们会发现:

    1. 按照Moessner数列的定义,每个数都应该等于它左边的数和左上角的数的和(这个“左边”可以跳过若干空格)。例如,35 = 9 + 26,46 = 11 + 35。排成一系列三角形后,每个三角形最右边一列的数就是被划去的数,它永远不能参与它下面的那些行的运算。
    2. a[n,i,j]a[n,i,j]表示左起第n个三角形阵列中的第i行右起第j列上的数,则a[n,i,j]=a[n1,i1,j]n+a[n1,i,j]a[n,i,j]=a[n-1,i-1,j]*n + a[n-1,i,j],例如274=505+24274=50*5+24。如果递推时遇到空白位置而它左边隔若干空格的地方还有数的话,则需要用左边的数来补,例如18=44+218=4*4+2。对于每个三角形的最后一列来说,这个性质实际上就是第一类Stirling数的递推关系,因此Moessner数列中才会出现第一类Stirling数。
    3. 在第一类Stirling数中,$s(n,1)=n! ,也即左起第n个三角形最底端的那个数等于n!$。从上面的第二个性质来看,这也是显然的。
    4. O(n3)O(n^3)的算法实际上就是在绘制上面这个图。每一次jj循环末,我们得到的序列是第ii个三角形中每一行左起第jj个数组成的序列。例如,计算第5个三角形内的数时,程序首先累加出1,11,46,96,120,1201, 11, 46, 96, 120, 120,这样便算出了a[5]=120a[5]=120,数列的前5个数再次累加即得到1,12,58,154,2741, 12, 58, 154, 274,由此算出a[4]=274a[4]=274
      第二个性质可以利用第一个性质进行数学归纳法证明,证明很简单,我就不多说了。现在我尽可能少写一些繁琐的细节,节约一些时间用来复习古代汉语。

查看更多:
http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm
http://www.luschny.de/math/factorial/index.html <—- 巨牛,20多种阶乘算法的代码!

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    1. 1.1. 更少的乘法运算次数?
    2. 1.2. 更少的总运算次数?
    3. 1.3. 还能再快一点么?
    4. 1.4. 另一种诡异的阶乘算法: