文章目录
  1. 1. 昂贵的婚礼 OpenJ_Bailian - 1062
  2. 2. dijkstra单源最短路

引言:喵老板又指导了我一波。


昂贵的婚礼 OpenJ_Bailian - 1062

https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-1062

年轻的探险家来到了一个印第安部落里。在那里他和酋长的女儿相爱了,于是便向酋长去求亲。酋长要他用10000个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。探险家拿不出这么多金币,便请求酋长降低要求。酋长说:"嗯,如果你能够替我弄到大祭司的皮袄,我可以只要8000金币。如果你能够弄来他的水晶球,那么只要5000金币就行了。“探险家就跑到大祭司那里,向他要求皮袄或水晶球,大祭司要他用金币来换,或者替他弄来其他的东西,他可以降低价格。探险家于是又跑到其他地方,其他人也提出了类似的要求,或者直接用金币换,或者找到其他东西就可以降低价格。不过探险家没必要用多样东西去换一样东西,因为不会得到更低的价格。探险家现在很需要你的帮忙,让他用最少的金币娶到自己的心上人。另外他要告诉你的是,在这个部落里,等级观念十分森严。地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触,包括交易。他是一个外来人,所以可以不受这些限制。但是如果他和某个地位较低的人进行了交易,地位较高的的人不会再和他交易,他们认为这样等于是间接接触,反过来也一样。因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。
为了方便起见,我们把所有的物品从1开始进行编号,酋长的允诺也看作一个物品,并且编号总是1。每个物品都有对应的价格P,主人的地位等级L,以及一系列的替代品Ti和该替代品所对应的"优惠"Vi。如果两人地位等级差距超过了M,就不能"间接交易”。你必须根据这些数据来计算出探险家最少需要多少金币才能娶到酋长的女儿。

简而言之,题目是求一个最短路,在该最短路上的任何结点的等级差不能超过M。

数据量是:结点个数1N1001\leqslant N\leqslant 100,换言之,O(n4)O(n^4)可能都是可以过的。

喵老板告诉我,可以先枚举等级范围的左端点,根据范围M,将符合范围的所有结点新建一个图,在这张图上跑最短路。最后取所有图跑出来的最短路的最优值。

假如每个结点的等级都不一样,那么等级最多有100种,枚举等级范围的左端点消耗O(N)O(N)。每个等级范围建图O(N2)O(N^2),用dijkstra跑普通的单源最短路算法O(V2)=O(N2)O(V^2)=O(N^2),所以算法整体复杂度O(N(N2+N2))=O(N3)O(N*(N^2+N^2))=O(N^3),可行。

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/*
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*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
int k,n;
int a[110];
int mat[110][110];
int mat2[110][110];
set<int> s;
bool check(int a,int low){//检查a是否在给定等级范围内
return a<=low+k && a>=low;
}
int dijkstra(int src,int des){
// for(int i=0;i<=n;i++){
// for(int j=0;j<=n;j++){
// printf("%d ",mat2[i][j]);
// }
// puts("");
// }
int l[110];
int c[110];
memset(l,INF,sizeof(l));
memset(c,0,sizeof(c));
l[src]=0;
c[src]=1;
int mini=src;
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
if(j==src){
continue;
}
if(l[mini]+mat2[mini][j]<l[j]){
l[j]=l[mini]+mat2[mini][j];
}
}
int minn=INF;
for(int j=0;j<=n;j++){
if(c[j]){
continue;
}
if(l[j]<minn){
minn=l[j];
mini=j;
}
}
c[mini]=1;
//printf("|%d|",mini);
}
return l[des];
}
int main(){
memset(mat,INF,sizeof(mat));
scanf("%d%d",&k,&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int val,m;
scanf("%d%d%d",&val,&a[i],&m);
mat[0][i]=val;
for(int j=1;j<=m;j++){
int o,w;
scanf("%d%d",&o,&w);
mat[o][i]=w;
}
}
int minn=INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(s.count(a[i])||(a[i]+k<a[1])){//枚举等级左端点
continue;
}
s.insert(a[i]);
memset(mat2,INF,sizeof(mat2));
for(int j=1;j<=n;j++){//重新造图
mat2[j][0]=mat[j][0];
mat2[0][j]=mat[0][j];
}
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!check(a[j],a[i])){
continue;
}
for(int k=j+1;k<=n;k++){
if(!check(a[k],a[i])){
//puts("!!!");
continue;
}
mat2[j][k]=mat[j][k];
mat2[k][j]=mat[k][j];
}
}
minn=min(minn,dijkstra(0,1));//dijkstra
}
printf("%d\n",minn);
return 0;
}

dijkstra单源最短路

dijkstra单源最短路是贪心算法,教材上的复杂度是O(V2)O(V^2)的,条件是边权非负

算法大意是,维护一个最短路径数组path[n]path[n],全部设为-\infin,以及一个已访问数组vis[n]vis[n],全部设为0。

先用原点到各点的边去更新path[n]path[n]数组,即path的初值为原点到各点的距离。然后设vis[index_source]=1

在未使用过的结点中找到一个使得path[n]path[n]最小的下标kk,用k这个结点去更新path[n]。

重复上一步骤,直到每个结点都被用过一遍。

算法步骤:

  1. 初始化:令memset(path,INF,sizeof(path)); memset(vis,0,sizeof(vis)); foreman=index_source; path[index_source]=0;
  2. vis[foreman]=1
  3. 枚举j=0...n1j=0...n-1path[foreman]+matrix[foreman][j]<path[j],则更新path[j]=path[foreman]+matrix[foreman][j]
  4. 寻找使得path[k]path[k]最小的k,且有vis[k]\not = 1,令foreman=k
  5. 重复步骤2至4共n次,恰好使得每个结点都成为一次foreman,此时得到了原点到任意结点的最短路径长度。
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